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已知F1，F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=60°，则离心率e的范围是_．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 13:01:10
问题描述：

已知F1，F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=60°，则离心率e的范围是______．

答

设椭圆方程为

x2
a2
+
y2
b2
＝1（a＞b＞0），|PF1|=m，|PF2|=n．
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°．
∵m+n=2a，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，
∴4c2=4a2-3mn．即3mn=4a2-4c2．
又mn≤(
m+n
2
)2=a2（当且仅当m=n时取等号），
∴4a2-4c2≤3a2，∴
c2
a2
≥
1
4
，即e≥
1
2
．
∴e的取值范围是[
1
2
，1）．
故答案为[
1
2
，1)

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