椭圆的左右焦点为F1,F2,若椭圆上存在一点a/sinPF1F2=c/sinPF2F1,则椭圆离心率的范围是?
问题描述：
椭圆的左右焦点为F1,F2,若椭圆上存在一点a/sinPF1F2=c/sinPF2F1,则椭圆离心率的范围是?
答
a/sinPF1F2=c/sinPF2F1
c/a=sinPF2F1/sinPF1F2
而由正弦定理知：sinPF2F1/sinPF1F2=|PF2|/|PF1|
所以,e=c/a=|PF2|/|PF1|
|PF1|+|PF2|=2a
所以,(e+1)|PF1|=2a
|PF1|=2a/(e+1)
|PF2|=e|PF1|=2ae/(e+1)
而：||PF1|-|PF2||≤|F1F2|=2c
所以.2a(1-e)/(e+1)≤2c
(1-e)/(1+e)≤e
e^2+2e-1≥0,e>0
所以,e≥√2-1
椭圆离心率的范围是:[√2-1,1)