已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,角PDA为45度,求证：MN垂直面PCD
问题描述：
已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,角PDA为45度,求证：MN垂直面PCD
答
以点A为原点,AB为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴建立空间直角坐标系。
设AB=b,AD=AP=a
则有B(b,0,0) C(b,a,0) → →
D(0,a,0) P(0,0,a) 可知PD=（0，a,-a） PC=(b,a,-a)
M(b/2,0,0) N(b/2,a/2,a/2)
→
→ MN=(0,a/2,a/2)
设面ACD法向量为n=(x,y,z)
→ → → →
满足PD·n=0 PC·n=0
则有ay-az=0 bx+ay-az=0
→
得到面ACD其中一个法向量No=(0,1,1)
→ →
因为a/2*No= MN
→ →
No‖MN
又No⊥面ACD
所以MN⊥面ACD
答
证明：设AC交BD于点O,取CD的中点Q点.在三角形PAC中,ON是中位线,所以ON//PA,且PA=1/2PA.已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,所以PA垂直CD,所以ON垂直CD;OM是三角形ABC的中位线,所以OM//AD,且OM=1/2AD.四边形ABCD是矩形,所...