如果f(x)的一个原函数是xlnx,那么∫ x^2f''(x)dx= 3Q
问题描述：
如果f(x)的一个原函数是xlnx,那么∫ x^2f''(x)dx= 3Q
答
∫ x^2f''(x)dx=∫ x^2df'(x) = x^2f'(x) - 2∫f'(x)xdx = x^2f'(x)-2∫xdf(x) = x^2f'(x) - 2xf(x) +2∫f(x)dx
= x^2f'(x)-2xf(x) + xlnx +C
因为f(x)一个原函数为xlnx，所以f(x)=dxlnx/dx = lnx + 1
f'(x)=df(x)/dx = 1/x
带入就是结果
答
依题意 f(x) = (xlnx)‘ = 1+lnx；
∴ f'(x) = 1/x；f''(x) =-1/x²
∫ x² f''(x)dx= ∫ x² (-1/x²)dx
= ∫(-1)dx = -x + c