已知f(x)的一个原函数是(1+sinx)lnx,求∫ xf′(x)dx.

问题描述:

已知f(x)的一个原函数是(1+sinx)lnx,求

  
xf′(x)dx.

由于f(x)的一个原函数是(1+sinx)lnx,
故∫f(x)dx=(1+sinx)lnx+C,
f(x)=[(1+sinx)lnx]′=(1+cosx)lnx+

1+sinx
x

从而,利用分部积分计算可得,
  
xf′(x)dx
=∫xd(f(x))
=xf(x)-∫f(x)dx
=xlnx(1+cosx)+(1+sinx)(1-lnx)+C.