已知f(x)的一个原函数是(1+sinx)lnx,求∫ xf′(x)dx.
问题描述:
已知f(x)的一个原函数是(1+sinx)lnx,求
xf′(x)dx.
∫
答
由于f(x)的一个原函数是(1+sinx)lnx,
故∫f(x)dx=(1+sinx)lnx+C,
f(x)=[(1+sinx)lnx]′=(1+cosx)lnx+
.1+sinx x
从而,利用分部积分计算可得,
xf′(x)dx
∫
=∫xd(f(x))
=xf(x)-∫f(x)dx
=xlnx(1+cosx)+(1+sinx)(1-lnx)+C.