已知sinx/x是函数f(x)的一个原函数,求∫x3f′(x)dx.

问题描述:

已知

sinx
x
是函数f(x)的一个原函数,求∫x3f′(x)dx.

由题意可得:
f(x)=(

sinx
x
)=
xcosx-sinx
x2

∵∫x3f′(x)dx=∫x3df(x)
∴利用分部积分得到:
∫x3df(x)=x3f(x)-3∫x2f(x)dx
=x2cosx-xsinx-3∫xcosxdx+3∫sinxdx
=x2cosx-xsinx-3xsinx+C
=x2cosx-4xsinx+C
∴∫x3f′(x)dx=x2cosx-4xsinx+C,其中C为任意常数