当0≤x≤1时,不等式sinπx2≥kx成立,则实数k的取值范围是_.
问题描述:
当0≤x≤1时,不等式sin
≥kx成立,则实数k的取值范围是______. πx 2
答
由题意知:
∵当0≤x≤1时 sin
≥kxπx 2
(1)当x=0时,不等式sin
≥kx恒成立 k∈Rπx 2
(2)当0<x≤1时,不等式sin
≥kx可化为πx 2
k≤
sin
πx 2 x
要使不等式k≤
恒成立,则k≤(sin
πx 2 x
)min成立sin
πx 2 x
令f(x)=
x∈(0,1]sin
πx 2 x
即f'(x)=
再令g(x)=
xcosπ 2
−sinπx 2
πx 2 x2
xcosπ 2
−sinπx 2
πx 2
g'(x)=-
xsinπ2 4
πx 2
∵当0<x≤1时,g'(x)<0
∴g(x)为单调递减函数
∴g(x)<g(0)=0
∴f'(x)<0
即函数f(x)为单调递减函数
所以 f(x)min=f(1)=1 即k≤1
综上所述,由(1)(2)得 k≤1
故此题答案为 k∈(-∞,1].