当0≤x≤1时,不等式sinπx2≥kx成立,则实数k的取值范围是_.

问题描述:

当0≤x≤1时,不等式sin

πx
2
≥kx成立,则实数k的取值范围是______.

由题意知:
∵当0≤x≤1时 sin

πx
2
≥kx
   (1)当x=0时,不等式sin
πx
2
≥kx
恒成立  k∈R
   (2)当0<x≤1时,不等式sin
πx
2
≥kx
可化为
      k≤
sin
πx
2
x
 
     要使不等式k≤
sin
πx
2
x
恒成立,则k≤(
sin
πx
2
x
)min
成立
     令f(x)=
sin
πx
2
x
  x∈(0,1]
     即f'(x)=
π
2
xcos
πx
2
 −sin
πx
2
x2
            再令g(x)=
π
2
 xcos
πx
2
−sin
πx
2
     
     
     g'(x)=-
π2
4
xsin
πx
2
   
∵当0<x≤1时,g'(x)<0
∴g(x)为单调递减函数
∴g(x)<g(0)=0
∴f'(x)<0
   即函数f(x)为单调递减函数
   所以 f(x)min=f(1)=1      即k≤1
   综上所述,由(1)(2)得  k≤1
   故此题答案为 k∈(-∞,1].