如果lim[f(x)+g(x)]的极限存在且lim[g(x)]的极限也存在,能否说明lim[f(x)]也存在?

问题描述:

如果lim[f(x)+g(x)]的极限存在且lim[g(x)]的极限也存在,能否说明lim[f(x)]也存在?

不能。这个结论不成立

可以啊。假设这2个极限分别为A、B
则对于任意正数b,存在正数a,当|x-c|所以当|x-c|所以limf(x)存在且为A-B

这是存在的
证明:
令h(x)=f(x)+g(x),则:
再令:limh(x)=A,
根据函数极限定义:存在X,当x>X时,对于h(x),总有:
│h(x)-A│0
于是:
│f(x)+g(x)-A│X' 时,对于g(x),总有:
│g(x)-A'│0
即:
A'-ε'