已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(  )A. (1,2]B. (1,2)C. [2,+∞)D. (2,+∞)

问题描述:

已知双曲线

x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(  )
A. (1,2]
B. (1,2)
C. [2,+∞)
D. (2,+∞)

已知双曲线

x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
b
a

b
a
3
,离心率e2=
c2
a2
a2+b2
a2
≥4

∴e≥2,故选C
答案解析:若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.
考试点:双曲线的简单性质.
知识点:本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.