已知,如图,以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙0,D是BC上的点,且有弧AC=弧CD,连CD、BD,在BD延长线上取一点E,使∠DCE=∠CBD.(1)求证:CE是⊙0的切线;(2)若CD=25,DE和CE的长度的比为12,求⊙O半径.

问题描述:

已知,如图,以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙0,D是BC上的点,且有弧AC=弧CD,连CD、BD,在BD延长线上取一点E,使∠DCE=∠CBD.

(1)求证:CE是⊙0的切线;
(2)若CD=2

5
,DE和CE的长度的比为
1
2
,求⊙O半径.

(1)证明:连接OC,AD,

AC
=
CD

∴OC⊥AD,∠ADC=∠DBC,
而∠DCE=∠CBD,则∠DCE=∠ADC,
∴CE∥AD,
∴OC⊥CE,
∴CE是⊙O的切线;
(2)设AD交OC于点F,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
由CE∥AD,
∴∠E=90°,
AC
=
CD

∴OC⊥AD,AF=DF,
在Rt△CED中,设DE=x,则CE=2x,而CD=2
5

根据勾股定理得:x2+(2x)2=(2
5
)2

解得:x=2,
∴DE=2,CE=4,
∵∠E=∠OCD=∠ADE=90°,
∴四边形CEDF是矩形,
∴AF=DF=CE=4,CF=DE=2,
在Rt△OAF中,设OA=r,根据勾股定理得r2=42+(x-2)2
∴r=5.
答:所求的半径为5.
答案解析:(1)连接OC,AD,由弧AC=弧CD,得到OC⊥AD,∠ADC=∠DBC,而∠DCE=∠CBD,则∠DCE=∠ADC,从而得到CE∥AD,OC⊥CE(2)先通过CE∥AD,得到∠E=90°,即四边形CEDF是矩形.先在Rt△CED中,设DE=x,则CE=2x,求出DE=2,CE=4;再在Rt△OAF中,利用勾股定理即可求出圆的半径.
考试点:切线的判定;勾股定理.
知识点:本题考查了圆的切线的判定方法.经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线.当已知直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要连接圆心和这个点,证明这个连线与已知直线垂直即可;当没告诉直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要过圆心作直线的垂线,证明垂线段等于圆的半径.同时考查了垂径定理、勾股定理和矩形的性质.