已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 16:58:03

问题描述：

已知关于x的函数y=ax²+x+1（a为常数）
（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．

答

（1）当a=0时，函数为y=x+1，它的图象显然与x轴只有一个交点（-1，0）．
当a≠0时，依题意得方程ax²+x+1=0有两等实数根．
∴△=b²-4ac=1-4a=0，
∴a=

．
∴当a=0或a=

时函数图象与x轴恰有一个交点；
（2）依题意有

4a−1

＞0，
当4a＞0，4a-1＞0，解得a＞

；
当4a＜0，4a-1＜0，解得a＜0．
∴a＞

或a＜0．
当a＞

或a＜0时，抛物线顶点始终在x轴上方．
答案解析：（1）需考虑a为0和不为0的情况，当a=0时图象为一直线；当a≠0时图象是一抛物线，由判别式△=b²-4ac判断；
（2）根据抛物线的纵坐标的顶点公式列出不等式则可解．
考试点：抛物线与x轴的交点．

知识点：函数可能是一次函数，也可能是二次函数；只有一个交点，那么b²-4ac=0；顶点在x轴上方，那么顶点纵坐标大于0．