已知函数f(x)=x^3-4x^2-3x是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,若存在请求出实数b的取值范围; 若不存在,试说明理由
问题描述：
已知函数f(x)=x^3-4x^2-3x
是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,若存在请求出实数b的取值范围; 若不存在,试说明理由
答
令f(x)=g(x)
得到
x^3-4x^2-3x=bx
其一交点为(0,0)
当x≠0
x^2-4x-(b+3)=0
令△=16+4(b+3)＞0
→b＞-7
答
显然 b=0时是成立的
当b不为0时 令f(x)=x^3-4x^2-3x=bx 化简得x(x^2-4x-3-b)=0
若要有3解 则x^2-4x-3-b=0有两个不为0的解 也就是德尔塔要大于0且b不能为-3 解出b
答
f(x)和g(x)有三个交点,即f(x)-g(x)=0有三个不等根
f(x)-g(x)
=x^3-4x^2-3x-bx=0
x(x^2-4x-3-b)=0
明显有根x=0
要求变为
x^2-4x-3-b=0有两个不等非零根
等价于
(-4)^2-4(-3-b)>0
且-3-b不为0
解得
b>-7且b不等于-3