已知函数f(x)是函数y=210x+1-1(x∈R)的反函数,函数g(x)的图象与函数y=4−3xx−1的图象关于直线y=x-1成轴对称图形,记F(x)=f(x)+g(x).(1)求F(x)的解析式及定义域.(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在这样两个不同点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直?若存在,求出A、B两点坐标;若不存在,说明理由.

问题描述:

已知函数f(x)是函数y=

2
10x+1
-1(x∈R)的反函数,函数g(x)的图象与函数y=
4−3x
x−1
的图象关于直线y=x-1成轴对称图形,记F(x)=f(x)+g(x).
(1)求F(x)的解析式及定义域.
(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在这样两个不同点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直?若存在,求出A、B两点坐标;若不存在,说明理由.

(1)由y=

2
10x+1
-1(x∈R),得10x=
1−y
1+y

x=lg
1−y
1+y

∴f(x)=lg
1−x
1+x
(-1<x<1).
设P(x,y)是g(x)图象上的任意一点,
则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为(1+y,x-1).
由题设知点P′(1+y,x-1)在函数y=
4−3x
x−1
的图象上,
∴x-1=
4−3(1+y)
1+y−1

∴y=
1
x+2
,即g(x)=
1
x+2
(x≠-2).
∴F(x)=f(x)+g(x)=lg
1−x
1+x
+
1
x+2
,其定义域为{x|-1<x<1}.
(2)∵f(x)=lg
1−x
1+x
=lg(-1+
2
1+x
)(-1<x<1)是减函数,
g(x)=
1
x+2
(-1<x<1)也是减函数,
∴F(x)在(-1,1)上是减函数.
故不存在这样两个不同点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直.
答案解析:(1)由题设条件知f(x)=lg
1−x
1+x
(-1<x<1).设P(x,y)是g(x)图象上的任意一点,则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为(1+y,x-1).由此可知g(x)=
1
x+2
(x≠-2).从而得到F(x)的解析式及定义域.
(2)由f(x)和g(x)都是减函数,知F(x)在(-1,1)上是减函数.由此可知不存在这样两个不同点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直.
考试点:反函数;函数的定义域及其求法;反证法与放缩法.
知识点:本题是一道综合题,解决第(2)小题常用的方法是反证法,但本题巧用单调性法使问题变得简单明了