已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围为______．
问题描述：
已知椭圆
+x2 a2
=1（a＞b＞0）右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围为______． y2 b2
答
因为在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，
所以F点到P点与A点的距离相等；
因为|FA|=
−c=a2 c
，|PF|∈[a-c，a+c]，b2 c
所以
∈[a-c，a+c]，b2 c
可得ac-c2≤b2≤ac+c2，
即ac-c2≤a2-c2≤ac+c2，
解得
，
≤1c a
≤−1或c a
≥c a
1 2
即
≤e＜1．1 2
所以椭圆的离心率的取值范围为[
，1)．1 2
故答案为：[
，1)．1 2
答案解析：首先根据点F在AP的垂直平分线上，可得|PF|=|FA|；然后求出|FA|=
，|PF|∈[a-c，a+c]，所以b2 c
∈[a-c，a+c]，从而求出椭圆的离心率的取值范围即可．b2 c
考试点：椭圆的简单性质．
知识点：本题主要考查了椭圆的基本性质的运用，属于基础题，解答此题的关键是根据题意，判断出|PF|=|FA|．