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设有抛物线C：y=-x2+92x-4，通过原点O作C的切线y=kx，使切点P在第一象限．（1）求k的值；（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 16:48:00
问题描述：

设有抛物线C：y=-x2+

9
2
x-4，通过原点O作C的切线y=kx，使切点P在第一象限．
（1）求k的值；
（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

答

（1）设点P的坐标为（x1，y1），则y1=kx1①
y1=-x12+

9
2
x1-4②
①代入②得x12+（k-
9
2
）x1+4=0．
∵P为切点，
∴△=（k-
9
2
）2-16=0得k=
17
2
或k=
1
2
．
当k=
17
2
时，x1=-2，y1=-17．
当k=
1
2
时，x1=2，y1=1．
∵P在第一象限，∴所求的斜率k=
1
2
．
（2）过P点作切线的垂线，其方程为y=-2x+5③
将③代入抛物线方程得x2-
13
2
x+9=0．
设Q点的坐标为（x2，y2）．则x2+2=
13
2

∴x2=
9
2
，y2=-4，∴Q（
9
2
，-4）
答案解析：（1）切线与抛物线仅一个交点，方程组有唯一解，判别式等于0．
（2）点斜式写出垂线方程，代入抛物线方程，求交点Q的坐标．
考试点：直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．
知识点：本题属于运用直线与圆锥曲线的位置关系求直线方程和交点坐标问题．

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