已知抛物线与x轴只有一个交点C且与直线y=x+2交于AB两点其中A在y轴上 AC=2根号2 （1） 求抛物线的解析式 （已知抛物线与Y轴只有一个交点C且与直线y=x+2交于AB两点其中A在y轴上 AC=2根号2 （1） 求抛物线的解析式 （2） 若点B在点A的右侧P为线段AB上一点（点P与AB不重合过点P作X轴垂线角抛物线于Q 设PQ的长为mP的横坐标为x求m与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围 （3）在线段AB上是否存在一点P使以2中的线段PQ为直径的圆经过点A 若存在求出点P的坐标应该是与X轴只有一个交点C

（1）
已知抛物线与x轴只有一个交点C,可设抛物线的解析式为y=a(x-b)^2
直线y=x+2交于AB两点其中A在y轴上，A点坐标为(0,2)，B点坐标
根据题意，可得，A(0,2)，C(2,0),则
2=ab^2
0=a(2-b)^2
b=2
a=1/2
抛物线的解析式为y=a(x-b)^2=1/2(x-2)^2
则可以得到B点坐标为(6,8)
(2)
P点在AB上，则P（x,x+2)
又，Q在抛物线上，则Q（x,1/2(x-2)^2,则可列式
x+2=1/2(x-2)^2+m
m=-1/2x^2+3x，0（3）
设圆心坐标为（x1,y1)
y1=1/2(x1-2)^2+m/2=1/2(x1-2)^2+(-1/2x1^2+3x1)]/2=1/4x1^2-1/4x1+2
设圆通过A点，则可以得到下式
x1^2+(1/4x1^2-1/4x1+2-2)^2=m^2/4=(-1/2x^2+3x)^2/4
x1^2+x1^2(x1-1)^2/16=x1^1(6-x1)^2/16
16+(x1-1)^2=(6-x1)^2
x1=19/10
Py=x1+2=19/10+2=39/10
P点坐标为（19/10,39/10)

本题能称为一道重量级题目.
（1） 求抛物线的解析式：
∵ 直线y = x + 2 与 y 轴 交于点A
∴ 把 x = 0 代入y = x + 2,得：y = 2
∴ 点A 坐标为：A（0,2）.则OA = 2.
∵ 点C 在 x 轴上、且 AC = 2√2,
∴ 在Rt△AOC 中,由勾股定理得：
OC方 = AC方 -- OA方
= (2√2)方 -- 2方
= 4
∴ 点C 坐标为：C（-- 2,0） 或 C（2,0）.
设抛物线地解析式为：y = ax方 + bx + c ,
∵ 抛物线经过A、C两点,而点C坐标为（-- 2,0） 或 C（2,0）,
∴ 需分两种情形讨论：
1、 当抛物线经过A（0,2）和 C（-- 2,0）时,
把这两点坐标代入y = ax方 + bx + c ,得：
2 = c --------------------------- ①
0 = 4a -- 2b + c --------------- ②
∵ 抛物线与 x 轴 只有一个交点,
∴ 一元二次方程ax方 + bx + c = 0 的根的判别式为 0 ,
即：△ = b方 -- 4ac = 0 ---------- ③
解①②③组成的方程组,得：
a = 1/2 ,b = 2,c = 2.
∴ 此时 抛物线地解析式为：y = (1/2)x方 + 2x + 2 .
（此时B、C 两点重合,B 在 点A 的左侧）
2、 当抛物线经过A（0,2）和 C（2,0）时,
把这两点坐标代入y = ax方 + bx + c ,得：
2 = c --------------------------- ①
0 = 4a + 2b + c --------------- ②
∵ 抛物线与 x 轴 只有一个交点C（2,0）,
∴ 抛物线的对称轴为 x = 2,
即：-- b / (2a) = 2 ------------------- ③
解①②③组成的方程组,得：
a = 1/2 ,b = -- 2,c = 2.
∴ 此时 抛物线地解析式为：y = (1/2)x方 -- 2x + 2 .
（此时B、C 两点不重合,B 在 点A 的右侧）
（注意体会 方程③的 两种不同来历）
综上,满足题意的抛物线解析式有两个：
y = (1/2)x方 + 2x + 2 或 y = (1/2)x方 -- 2x + 2 .
求抛物线的解析式还有另外思路：
∵ 抛物线与 x 轴只有一个交点
∴ 该题中的抛物线 可看作是 y = ax方 经左右平移得到的.
∴ 可设抛物线解析式为：y = a(x + k)方
再代入它所经过的两个点的坐标 即可求出 a 和 k 这两个未知数.
（2）若点B在点A的右侧
由第（1）问 知：
此时 抛物线地解析式只能为：y = (1/2)x方 -- 2x + 2 .
先求出点B的横坐标.
凡求 交点坐标,大多需联立方程组.
由方程组 y = x + 2
y = (1/2)x方 -- 2x + 2
解得：x1 = 0 ,x2 = 6 .
即：抛物线 与 直线 的交点A的横坐标为0,B的横坐标为6 .
∵ 点P 在直线y = x + 2 上、PQ ⊥ x 轴 ,
∴ 点P、Q 的横坐标均为 x .
把 x 代入y = x + 2 ,求得点P的纵坐标为（x + 2）；
把 x 代入 y = (1/2)x方 -- 2x + 2 ,求得
点Q 的纵坐标为：[ (1/2)x方 -- 2x + 2 ]
∴ PQ 的长 m = （x + 2）-- [ (1/2)x方 -- 2x + 2 ]
= -- (1/2)x方 + 3x
∴ m与x之间的函数关系式为：m = -- (1/2)x方 + 3x
自变量x的取值范围为：0 ＜ x ＜ 6 .
（3） 在线段AB上存在一点P,
能使以（2）中的线段PQ为直径的圆经过点A ,
满足题意的点P的坐标为：P（2,4）.理由如下：
由 “ 以线段PQ为直径的圆经过点A ” 知：
∠PAQ = 90°（直径所对的圆周角为90°）
在 Rt△PAQ 中,PQ 为斜边,
过点A 作 AH ⊥ PQ 于 点H ,
则 AH 的长 等于点P（或点Q） 的横坐标 x .
∴ 点H 的横坐标为 x ,纵坐标为 2 ,
PH = 点P纵坐标 -- 点H纵坐标
= ( x + 2 ) -- 2
= x
QH = 点H纵坐标 -- 点Q纵坐标
= 2 -- [ (1/2)x方 -- 2x + 2 ]
= -- (1/2)x方 + 2x
易证得 Rt△PAH ∽ Rt△AQH
∴ AH方 = PH × QH
∴ x 方 = x [ -- (1/2)x方 + 2x ]
∵ x ＞ 0 ,两边同除以 x ,解得：
x = -- (1/2)x方 + 2x
∴ (1/2)x方 -- x = 0
∴ x = 0 或 x = 2 .
∴ 点P 的横坐标 为 2 ,
∴ 满足题意的点P的坐标为：P（2,4）.