直线l:y=kx+1与双曲线C:3x^-y^=1相交于不同的A,B两点,（1）求AB的长度；（2）是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出k的值；若不存在,写出理由.^表示平方
问题描述：
直线l:y=kx+1与双曲线C:3x^-y^=1相交于不同的A,B两点,
（1）求AB的长度；（2）是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出k的值；若不存在,写出理由.
^表示平方
答
1,将直线方程和曲线方程联立求解即可得到一个关于X的一元二次方程,再根据韦达定理（根与系数的关系）将y=kx+1代入C的方程得（3-k^)x^-2kx-2=0(k不等于3）所以X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；所以AB^=(1+k^)*[(X1+X2)^-4X1X2;将X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；代入AB的弦长中即可求出AB了,结果为2*根号[(1+k^)(6-k^)]/(3-k^)(方括号中的为根号下的项)
2.以线段AB为直径的圆经过坐标原点,则,AO和BO垂直,所以斜率之积为-1.即Y1Y2=-X1X2.（*）将Y1=kX1+1,Y2=kX2+1代入（*）式即可得到（k^+1)X1X2+k(X1+X2)+1=0（Ⅳ)再将X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；代入（Ⅳ)即可得到k^=1,所以k=+ -1,所以存在k满足条件.[设A(X1,Y1) B(X2,Y2)]
好累,花了一个小时了,