设n阶矩阵A满足A^2+2A-3I=O,证明:A,A+2I都可逆,并求其逆.

问题描述:

设n阶矩阵A满足A^2+2A-3I=O,证明:A,A+2I都可逆,并求其逆.

A^2+2A=3I
A(A+2I)=3I
所以A可逆,且A^(-1)=(1/3)(A+2I)
(A+2I)^(-1)=(1/3)A

A(A+2I)=3I
|A(A+2I)|=|A||A+2I|=3
所以|A|不等于0 且|A+2I|不等于0
所以A和A+2I都可逆