设A是n阶矩阵,若A满足矩阵方程A*A-A+I=0,证明:A和I-A都可逆,并求它们的逆矩阵

问题描述:

设A是n阶矩阵,若A满足矩阵方程A*A-A+I=0,证明:A和I-A都可逆,并求它们的逆矩阵

A*A-A+I=0
所以A*(A-I)=-I
所以|A*(A-I)|=|A|*|A-I|=|A|*|I-A|=|-I|0
所以|A|,|I-A|都不等于0,所以A和I-A都可逆