在△ABC中,A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知向量m=(1,2sinA),n=(sinA,1+cosA),满足m∥n,b+c=3a.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求sin(B+π6)的值.
问题描述:
在△ABC中,A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知向量
=(1,2sinA),
m
=(sinA,1+cosA),满足
n
∥
m
,b+c=
n
a.
3
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求sin(B+
)的值. π 6
答
(Ⅰ)由
∥
m
,得2sin2A-1-cosA=0,
n
即2cos2A+cosA-1=0,
∴cosA=
或cosA=-1.1 2
∵A是△ABC内角,cosA=-1舍去,
∴A=
.π 3
(Ⅱ)∵b+c=
a,由正弦定理,
3
sinB+sinC=
sinA=
3
,3 2
∵B+C=
,sinB+sin(2π 3
-B)=2π 3
,3 2
∴
cosB+
3
2
sinB=3 2
,3 2
即sin(B+
)=π 6
.
3
2
答案解析:(I)根据所给的向量的坐标和向量平行的条件,写出向量平行的充要条件,得到关于角A的三角函数关系,本题要求角A的大小,利用整理出来的三角函数值和角是三角形的内角,得到结果.
(II)本题是一个解三角形问题,应用上一问给出的结果,和b+c=
a.根据正弦定理把边之间的关系变化为角之间的关系,逆用两角和的正弦公式,得到结果.
3
考试点:平面向量数量积坐标表示的应用;正弦定理.
知识点:本题是向量平行的运算,条件中给出两个向量的坐标,代入共线的充要条件的公式运算即可,只是题目所给的模不是数字,而是用三角函数表示的式子,因此代入后,还要进行简单的三角函数变换.本题是一个综合题.