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已知向量m=（sinA，sinB），n=（cosB，cosA），m•n=sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA，sinB，sinC成等差数列，且CA•（AB-AC）=18，求c边的长及△ABC的面积．

分类: 作业答案 • 2022-07-14 19:40:37
问题描述：

已知向量

m
=（sinA，sinB），
n
=（cosB，cosA），
m
•
n
=sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinB，sinC成等差数列，且
CA
•（
AB
-
AC
）=18，求c边的长及△ABC的面积．

答

（1）

m
•
n
=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sin2C，
∴sinC=sin2C=2sinCcosC，
∴cosC=
1
2
，
∵C∈（0，π），∴C=
π
3
．
（2）∵sinA，sinB，sinC成等差数列，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可知a+b=2c，
又∵
CA
•（
AB
-
AC
）=18，
∴
CA
•
CB
=18，∴abcos
π
3
=18，即ab=36．
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab=4c2-108，
∴c2=36，解得c=6．
∴S△ABC=
1
2
absinC=
1
2
×36×
 3
2
=9
 3
．
答案解析：（1）利用数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式即可得出；
（2）利用等差数列的定义、正弦余弦定理、数量积运算即可得出．
考试点：平面向量数量积的运算．
知识点：本题考查了数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式、等差数列的定义、正弦余弦定理、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

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