数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn（n=1，2，3，…）．证明：（Ⅰ）数列{Snn}是等比数列；（Ⅱ）Sn+1=4an．
问题描述：
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=
Sn（n=1，2，3，…）．证明：n+2 n
（Ⅰ）数列{
}是等比数列；Sn n
（Ⅱ）Sn+1=4an．
答
知识点：要证一个数列是等比数列，利用定义，每一项与它的前一项之比为一个常数，在这儿注意，n=1时，不在其中，所以要加以说明；同样第二个问题中，an+1=
Sn（n=1，2，3，…），这个式子也不包括a1应加以说明．
（I）证：由a1=1，an+1=n+2nSn（n=1，2，3，），知a2=2+11S1=3a1，S22＝4a12＝2，S11＝1，∴S22S11＝2又an+1=Sn+1-Sn（n=1，2，3，…），则Sn+1-Sn=n+2nSn（n=1，2，3，），∴nSn+1=2（n+1）Sn，Sn+1n+1Snn＝2（n=1...
答案解析：（Ⅰ）要证数列{
}是等比数列；需证Sn n
＝2（n=1，2，3，…）成立，另外应说明
Sn+1 n+1
Sn n
＝2；
S2 2
S1 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{
}是首项为1，公比为2的等比数列，可得Sn的通项公式，代入an+1=Sn n
Sn（n=1，2，3，…）可得Sn+1=4an．说明当n=1时，S2=a1+a2=4a1，等式成立．n+2 n
考试点：数列的求和；等比关系的确定．
知识点：要证一个数列是等比数列，利用定义，每一项与它的前一项之比为一个常数，在这儿注意，n=1时，不在其中，所以要加以说明；同样第二个问题中，an+1=
| n+2 |
| n |