设等差数列{an}的首项a1为a，d=2，前n项和为Sn． （Ⅰ）若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：∀n∈N*，Sn，Sn+1，Sn+2不构成等比数列．
问题描述：
设等差数列{an}的首项a1为a，d=2，前n项和为Sn．
（Ⅰ）若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：∀n∈N*，Sn，Sn+1，Sn+2不构成等比数列．
答
（Ⅰ）等差数列{an}的首项a1为a，公差d=2，
则数列的前n项和为Sn=na+n（n-1）=n2+（a-1）n．
∵S1=a，S2=2a+2，S4=4a+12，S1，S2，S4等比数列，
∴（2a+2）2=a（4a+12），解得a=1，
数列{an}的通项公式：an=1+（n-1）×2=2n-1．
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，Sn=n2+（a-1）n，对n∈N*，a∈R，
Sn•Sn+2=[n2+（a-1）n][（n+2）2+（a-1）（n+2）]
=n2（n+2）2+n2（a-1）（n+2）+（a-1）n（n+2）2+（a-1）2n（n+2）
=n（n+2）[（n+a）2-1]，
Sn+12=[（n+1）2+（a-1）（n+1）]2
=（n+1）2（n+a）2
则Sn•Sn+2-Sn+12=n（n+2）[（n+a）2-1]-（n+1）2（n+a）2
=-（n+a）2-n（n+2）＜0．
即对n∈N*，a∈R，Sn•Sn+2-Sn+12＜0成立，
所以∀n∈N*，Sn，Sn+1，Sn+2不构成等比数列．