自然数的数位集合是无限集吗?与自然数集等势吗?

自然数的数位集合是无限集吗?与自然数集等势吗?
自然数集的基数为N,是最小的无限大.
为自然数记数,需要数位,例如十进制的个十百……,或二进制的数位等,这些数位也可以组成集合.
例如采取二进制完全记数时,所需的数位组成的集合,其基数也是N吗?
若不是,那基数是什么?比N小的无限大?有限大?
若是,那自然数集基数只是N,但记数数位可记数有2^N这么多,也即是说,完全为N记数,需要C?（C是实数集的势,由幂集得2^N=C.）
请重点回答：
用二进制为自然数集完全记数，数位集的基数是N；
基数是N的数位，可记数为2^N；
2^N=C，可完全为实数集记数；
而自然数集的基数N比实数集的基数C小。
是“进位”(整数部记数方式)与“退位”(小数部记数方式)操作区别造成的吗？
因为进位操作到“无限大”自然数N时，数位集已是一低阶无限集，其势不能再随进位升高；但退位操作默认带有尾巴——“超限小”的实数点？
所以，2^N中的大部分无限数都没有意义(超限数？极小部分(N个)是自然数；“退位”产生的都有意义，大部分是超越数，小部分(N个)是代数数？
二进制（或十进制，有限n进制）自然数数位集的基数是lgN
而lgN是小于N的“虚无限大”，因为N已是最小的无限大？
疑惑ing
回答有说服力再加分。