如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°
问题描述：
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°
1,求证BD⊥平面PAC
2,若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值.
3,当平面PBC与平面PDC垂直是,求PA的长
第一问我会求二三问,速求
答
1.证明：∵PA⊥平面ABCD,又BD在面ABCD内
从而 PA⊥BD,则 BD⊥PA
而 底面ABCD是菱形
从而 BD⊥AC
∴BD⊥PA BD⊥AC
又 PA和AC相交于A
∴BD⊥平面PAC
2.可得 AC=2√3 PC=4
设 AC交BD于O 取PD中点E 连接EO EC在三角形EOC中
PB与AC所成的角 即是∠EOC
在三角形PDC中 E是中点,
设EC=x 由余弦定理可求得EC=x=2√2
在三角形PBD中 知 EO=PB/2=√2
在三角形EOC中,有EO=√2,OC=AC/2=√3,EC=2√2
∴有余弦定理易求得：∠PB与AC所成的角即为∠EOC=√6/4 [√表示平方根]
3.过B点作BF⊥PC于F 连接DF 则 DF⊥PC
RT△BFC≌RT△DFC
从而 DF=BF
则 △BFD是RT△
BD=2 从而OF=1
又 PC⊥平面BDF
因此 PC⊥OF
又△OCF∽△ACP
其 对应边成比例
从而 求到PA=√6 [√表示平方根]