已知函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x2+x），若f（x）≤g（x）恒成立，则实数a的取值范围是_．
问题描述：
已知函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x2+x），若f（x）≤g（x）恒成立，则实数a的取值范围是______．
答
设F（x）=f（x）-g（x），则F′(x)＝−
(2x+1)(ax−1) x
当a≤0时，F′（x）≥0，F（x）单调递增，F（x）≤0不可能恒成立；
当a＞0时，令F′（x）=0，得x＝
，x＝−1 a
（舍去）．1 2
当0＜x＜
时，F′（x）＞0，函数单调递增；当x＞1 a
时，F′（x）＜0，函数单调递减；1 a
故F（x）在（0，+∞）上的最大值是F(
)，依题意F(1 a
)≤0恒成立，1 a
即ln
+1 a
−1≤0恒成立，1 a
∵gg(a)＝ln
+1 a
−1单调递减，且g（1）=0，1 a
∴ln
+1 a
−1≤0成立的充要条件是a≥1，1 a
∴a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．