如图,平行四边形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A,C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,点A的横坐标为4,点B的横坐标为6,且平行四边形OABC的面积为9,则k的值为______.

问题描述:

如图,平行四边形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A,C在反比例函数y=

k
x
(x>0)的图象上,点A的横坐标为4,点B的横坐标为6,且平行四边形OABC的面积为9,则k的值为______.

过点C作CD⊥x轴于点D,过点A作AE⊥x轴于点E,作点B作BF⊥x轴,作AF∥x轴,交于点F,连接AC,
∵四边形OABC是平行四边形,
∴OC=AB,OC∥AB,
∴∠COD=∠BAF,
在△COD和△BAF中,

∠COD=∠BAF
∠CDO=∠F=90°
OC=AB

∴△COD≌△BAF(AAS),
∴OD=AF,
∵点A的横坐标为4,点B的横坐标为6,
∴AF=2,
∴OD=2,
即点C的横坐标为2,
∵顶点A,C在反比例函数y=
k
x
(x>0)
的图象上,
∴点A(4,
k
4
),点C(2,
k
2
),S△OCD=S△OAE
∴DE=OE-OD=4-2=2,
∵平行四边形OABC的面积为9,
∴S△OAC=
9
2

∴S△OAC=S△OCD+S梯形AEDC-S△OAE=S梯形AEDC=
1
2
(AE+CD)•DE=
1
2
×(
k
4
+
k
2
)×2=
9
2

解得:k=6.
故答案为:6.
答案解析:首先过点C作CD⊥x轴于点D,过点A作AE⊥x轴于点E,作点B作BF⊥x轴,作AF∥x轴,交于点F,连接AC,易求得点C的横坐标为2,又由平行四边形OABC的面积为9,可得S△OAC=S△OCD+S梯形AEDC-S△OAE=S梯形AEDC=
1
2
(AE+CD)•DE=
1
2
×(
k
4
+
k
2
)×2=
9
2
,解此方程即可求得k的值.
考试点:反比例函数综合题.
知识点:此题考查了反比例函数的意义、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想与方程思想的应用.