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已知f（x）=x2+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，当x∈R时f（x）≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f（x）的最小值？

分类: 作业答案 • 2023-01-17 11:56:50
问题描述：

已知f（x）=x2+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，当x∈R时f（x）≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f（x）的最小值？

答

由f（-1）=-2，得：f（-1）=1-（lga+2）+lgb=-2，解之得：lga-lgb=1，
∴

a
b
=10，a=10b．
又由x∈R，f（x）≥2x恒成立．知：x2+（lga+2）x+lgb≥2x，即x2+xlga+lgb≥0，对x∈R恒成立，
由△=lg2a-4lgb≤0，故得（1+lgb）2-4lgb≤0
即（lgb-1）2≤0，只有lgb=1，不等式成立．
即b=10，∴a=100．
∴f（x）=x2+4x+1=（2+x）2-3
当x=-2时，f（x）min=-3．

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