如图所示,在正方体中,E,F是棱A’B’与D’C’的中点,求面EFCB与面ABCD所成二面角的正切值
问题描述：
如图所示,在正方体中,E,F是棱A’B’与D’C’的中点,求面EFCB与面ABCD所成二面角的
正切值
答
过点F作CD的垂线交CD于H,则FH垂直平面ABCD且H为CD的中点，因为CH垂直CB，由三垂线定理可知，∠FCH为所求二面角的平面角，设正方体的棱长为2，则HF等于DD'等于2，,CH等于1，所以tan∠FCH等于2，所以∠FCH等于arctan2,即面EFCB与面ABCD所成的二面角为arctan2
答
I）取AD的中点H,连接EH,则EH⊥平面ABCD,过H作HF⊥AC与F,连接EF,
则EF在平面ABCD内的射影为HF,由三垂线定理得EF⊥AC,
∴∠EFH即为二面角E-AC-B的补角
∵EH=a,HF=14BD=24a
∴∠tan∠EFH=EHHF=a24a=22
∴二面角E-AC-B的正切值为-22