正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,E为DD'的中点,求:直线BD'到平面ACE的距离
问题描述：
正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,E为DD'的中点,求:直线BD'到平面ACE的距离
答
连结BD交AC于点O,所以O为BD的中点
在ΔBDD’中,O、E分别为边BD、DD’的中点,所以OE‖BD’
因为OE在平面ACE上,而BD’不在它上面.
∴BD’‖平面ACE
建立坐标系可以解决问题吗?
答
连接BD交AC于F,连接EF
因为四边形ABCD是正方形,所以DF=BF
在三角形DD'B中
E为DD'中点,F为DB中点
所以EF平行BD'
又因为EF在平面ACE上
所以BD'到ACE 的距离等于到EF的距离
因为DD'垂直于平面ABCD
所以角D'DB等于90度
因为EF平行BD',所以EFBD'D共面
勾股定理求得BD=(根号2)a
在平面D'BD中,DE=D'E=a/2,
过E作EG垂直BD交BD于G
利用相似三角形得EG/D'E=BD/DD'
所以EG=(根号2)a/2
因为BD'到EF的距离=EG
所以BD'到平面ACE的距离=EG=(根号2)a/2