过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线,垂足恰好落在曲线x2b2+y2a2=1上,则双曲线的离心率为(  ) A.5 B.3 C.2 D.2

问题描述:

过双曲线

x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线,垂足恰好落在曲线
x2
b2
+
y2
a2
=1
上,则双曲线的离心率为(  )
A.
5

B.
3

C.
2

D. 2

双曲线一条渐近线方程为y=

b
a
x,过焦点的垂线方程y=
a
b
(x-c)联立
解得 x=
a2
c
,y=
ab
c

把x y 代入椭圆方程得
a4
c 2
b2
+
a2b2
c2
a2
=1

整理得可得e=
c
a
=
2

故选C