过抛物线y^2=4x的焦点作直线L交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则lABl等于

问题描述:

过抛物线y^2=4x的焦点作直线L交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则lABl等于
我算到这里y=k(x-1),然后按照我们老师所说,变为x=y+k/kk,再代入抛物线(因为x是一次项,代X能简化计算),但代完后我就不记得怎么做下去了,

变为x=ky+k,再代入消去x,得到一个方程,因为已知由中点可知x1+x2=6(假设两点坐标为(x1,y1),(x2,y2)),由y=k(x-1),得y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),所以y1+y2=k(x1+x2-2)=4k,再根据韦达定理,求出k,之后用弦长公式,得|AB|=√(1+1/k²) [(y1+y2)-4y1y2](根号下面是1+1/k²),代入数值即可求解.

不过老师的方法未必是最简单的,此题不应该消去x,应该消去y,尽管消去y要用完全平方式化简,但是题目给出的条件是得到x1+x2=6,如果消去y可直接由韦达定理得到关系式,不用求y1+y2的值,最后也可以用弦长公式,得|AB|=√(1+k²) [(x1+x2)-4x1x2](根号下面是1+1/k²).

此题求出k值,除了上面的方法,此题还可以有其他解法,请看下面方法:
由于A、B在抛物线上,把坐标代入抛物线,得y1²=4x1,y2²=4x2,两式相减,得
y1²-y2²=4x1-4x2,变形可得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),所以(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2),
由x1+x2=6,以及y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),得y1+y2=k(x1+x2-2)=4k,注意到(y1-y2)/(x1-x2)=k
所以有k=4/(4k),一样也可以求出k,遇到弦中点问题,可以用这种方法,此法称为点差法.这种方法计算也非常方便,学习要有自己的思维和方法,不要以为老师所说的方法一定是最好的,相反,你的老师教你们的解法,我认为是最麻烦的.y1+y2=k(x1+x2-2)=4k,可以把韦达定理的过程写一写吗?我想你不是不会,只是你懒得写,学理科不管在任何时候,都要自己动笔思考,你如果还是继续依赖答案学习数学,那么我可以肯定地告诉你,只要过了一会,你马上就不会再做类似的题,例如本题稍微改一下试试自己能不能做:过抛物线y^2=4x的焦点作直线L交抛物线于A,B两点,是否存在实数斜率k,使∠AOB=90°,如果存在请求出k值,如果不存在请说明理由。 当你做一个题目的时候,你是否真的只是为了做出这道题,难道你不会从中学会方法以及能力吗,基础差,能力方面欠缺都无所谓,关键还是看你的态度。或许我说了这些,你不爱听,不过,我还是不会告诉你答案,我教人家的时候,从来不把详细答案以及计算结果告诉别人,我只引导思维。你想提高数学,还是多独立思考。