已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别为边AB、DC的中点,CG∥DE,交EF的延长线于点G.(1)求证:四边形DECG是平行四边形;(2)当ED平分∠ADC时,求证:四边形DECG是矩形.
问题描述:
已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别为边AB、DC的中点,CG∥DE,交EF的延长线于点G.
(1)求证:四边形DECG是平行四边形;
(2)当ED平分∠ADC时,求证:四边形DECG是矩形.
答
知识点:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及平行四边形的判定,矩形的判定,关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理.
证明:(1)∵F是边CD的中点,
∴DF=CF.
∵CG∥DE,
∴∠DEF=∠CGF.
又∵∠DFE=∠CFG,
∴△DEF≌△CGF(AAS),
∴DE=CG,
又∵CG∥DE,
∴四边形DECG是平行四边形.
(2)∵ED平分∠ADC,
∴∠ADE=∠FDE.
∵E、F分别为边AB、DC的中点,
∴EF∥AD.
∴∠ADE=∠DEF.
∴∠DEF=∠EDF,
∴EF=DF=CF.
∴∠FEC=∠ECF,
∴∠EDC+∠DCE=∠DEC.
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°,
∴2∠DEC=180°.
∴∠DEC=90°,
又∵四边形DECG是平行四边形,
∴四边形DECG是矩形.
答案解析:(1)首先证明△DEF≌△CGF可得DE=CG,再加上条件CG∥DE,可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形DECG是平行四边形.
(2)首先证明∠DEF=∠EDF,∠FEC=∠ECF,再证明∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°,从而得到2∠DEC=180°进而得到∠DEC=90°,再有条件四边形DECG是平行四边形,
可得四边形DECG是矩形.
考试点:矩形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定;梯形.
知识点:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及平行四边形的判定,矩形的判定,关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理.