如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点(E点不与B、C两点重合),EF∥BD交AC于点F,EG∥AC交BD于点G. (1)求证:四边形EFOG的周长等于2 OB; (2)

问题描述:

如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点(E点不与B、C两点重合),EF∥BD交AC于点F,EG∥AC交BD于点G.
(1)求证:四边形EFOG的周长等于2 OB;
(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC”改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、不必证明.

(1)证明:如图1
∵四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AB=CD,
∴四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠ABC=∠DCB.
又∵BC=CB,AB=DC,
∴△ABC≌△DCB.
∴∠1=∠2.
又∵GE∥AC,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴EG=BG.
∵EG∥OC,EF∥OB,
∴四边形EGOF是平行四边形.
∴EG=OF,EF=OG.
∴四边形EGOF的周长=2(OG+GE)=2(OG+GB)=2OB
(2)方法1,如图2,已知矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E为BC上一个动点,(点E不与B、C两点重合)EF∥BD,交AC于点F,EG∥AC交BD于点G
求证:四边形EFOG的周长等于2OB.
方法2:如图3,已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E为BC上一个动点,(点E不与B、C两点重合)EF∥BD,交AC于点F,EG∥AC交BD于点G
求证:四边形EFOG的周长等于2OB.