设函数f(x)在[a,b]上有二阶导数,f(a)=f(b),试证,在(a,b)内至少存在一点§,使得f"(§)=2f'(§)/(b-§)
问题描述：
设函数f(x)在[a,b]上有二阶导数,f(a)=f(b),试证,在(a,b)内至少存在一点§,使得f"(§)=2f'(§)/(b-§)
答
令g(x)=(x-b)^2*f'(x)
则g(b)=0
存在c∈(a,b)使得f'(c)=0,则g(c)=0
所以存在§∈(c,b)（则§∈(a,b)）使得g'(§)=0
即(§-b)^2*f''(§)+2(§-b)f'(§)=0
即f''(§)=2f'(§)/(b-§)能说下怎么想到构造这个函数的嘛一看就知道要用中值定理，要找一个函数g使得g'(x)=0可以推出那个要证的式子。我就反过来从那个式子解常微分方程(§-b)*f''(§)+2f'(§)=0，然后就解出来(§-b)^2*f'(§)=C（常数），就令g(x)=(x-b)^2*f'(x)。好的，谢谢