设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．
问题描述：
设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．
答
令F（x）=f（x）-g（x），则F（x）在上连续，在（a，b）内具有二阶导数且F（a）=F（b）=0．
（1）若f（x），g（x）在（a，b）内同一点c取得最大值，
则f（c）=g（c）⇒F（c）=0，
于是由罗尔定理可得，
存在ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b），
使得F′（ξ1）=F′（ξ2）=0．
再利用罗尔定理，可得，
存在ξ∈（ξ1，ξ2），
使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．
（2）若f（x），g（x）在（a，b）内不同点c1，c2取得最大值，
则f（c1）=g（c2）=M，
于是F（c1）=f（c1）-g（c1）＞0，F（c2）=f（c2）-g（c2）＜0，
于是由零值定理可得，存在c3∈（c1，c2），使得F（c3）=0
于是由罗尔定理可得，存在ξ1∈（a，c3），ξ2∈（c3，b），使得F′（ξ1）=F′（ξ2）=0．
再利用罗尔定理，可得，存在ξ∈（ξ1，ξ2），使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．