证明是否存在函数,满足：“处处可导,但导函数处处不连续的”
问题描述：
证明是否存在函数,满足：“处处可导,但导函数处处不连续的”
因为已经知道了，有一种“处处连续，但处处不可导”的函数，但网上找不到关于这种函数是否存在的论证
答
结论是否定的.事实上,闭区间I上可导函数的导函数的连续点集必然是I上的稠密集!可参见周民强著《实变函数论》55页思考题5. 大致思路如下：首先,记f_n(x)=n[f(x+1/n)-f(x)],则f_n是连续函数.由于f处处可导,对每个x∈I,...太深的我也不会啊，其实只是想问个大概思路，知道有没有定论而已：1.稠密集是不是就是Gδ集啊？2.稠密开集合的交非空？？3.无内点闭集是零测集吗？以下讨论都是在欧氏空间上进行。1. 不是。稠密集是指其闭包是全集；Gδ型集是指“能表为可数个开集之交”的集合。2. 是的！不但如此，其交还必须是稠密集。可用Baire纲定理证明。3. 不是。零测集是指测度为0的集合。如果没接触过实变函数和拓扑的话，这些概念恐怕不太好理解。但结论是肯定的。哦，无内点闭集和零测集没有必然联系？没有的说~比如类Cantor集（Harnack集），就是一类非空无内点的闭集，测度>0.