下列命题正确的是A如果AB=I,则A可逆且A^-1=B,如果矩阵A,B均为n阶可逆,则A+B必可逆,C如果矩阵A,B均为n阶不可逆,则A+B必不可逆 D如果矩阵A,B均为n阶不可逆,则AB必不可逆 希望解释多多
问题描述：
下列命题正确的是A如果AB=I,则A可逆且A^-1=B,如果矩阵A,B均为n阶可逆,则A+B必可逆,
C如果矩阵A,B均为n阶不可逆,则A+B必不可逆 D如果矩阵A,B均为n阶不可逆,则AB必不可逆 希望解释多多
答
举个例子吧
A是2阶的 a11的位置是1 其他的都是0
B是2阶的 b22的位置是1其他都是0
但是A+B可逆呀
D选项好像是对的吧 不是有个定理说 AB的秩小于等于A 、B的最小秩吗
答
答案是D
A：没有说A,B是方阵 加上A,B是方阵就对了
B：取特例 不妨令A=-B,则A+B=0,不可逆
C：取特例 不妨令A=diag（1,0）,则B=diag（0,1）,则A+B=I,可逆（diag,对角阵）
D：A,B不满秩,AB不满秩.很容易理解,A不满秩则经过初等变换后会有一行全为零（等效为左乘一可逆阵P）,则AB左乘P必然有一行全为零,即AB不满秩,不可逆.