关于矩阵和可逆矩阵的题目1.设A.B均为n阶方阵且满足A+B+AB=0.证明:AB=BA2.设A.B均为n阶方阵且A+B为可逆矩阵,则A与B均为可逆矩阵.这句话是对的还是错的.原因呢?

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:35:26

问题描述：

关于矩阵和可逆矩阵的题目
1.设A.B均为n阶方阵且满足A+B+AB=0.证明:AB=BA
2.设A.B均为n阶方阵且A+B为可逆矩阵,则A与B均为可逆矩阵.这句话是对的还是错的.原因呢?

答

1.等式可变形为(E+A)(E+B) = E,即E+A与E+B互为逆矩阵.
于是也有(E+B)(E+A) = E,展开得A+B+BA = 0 = A+B+AB.
故AB = BA.
2.有反例,例如A = E,B = 0,虽然B不可逆但A+B = E可逆.