设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n， （Ⅰ）求a1，a4 （Ⅱ）证明：{an+1-2an}是等比数列； （Ⅲ）求{an}的通项公式．
问题描述：
设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n，
（Ⅰ）求a1，a4
（Ⅱ）证明：{an+1-2an}是等比数列；
（Ⅲ）求{an}的通项公式．
答
（Ⅰ）因为a1=S1，2a1=S1+2，所以a1=2，S1=2，
由2an=Sn+2n知：2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1，
得an+1=sn+2n+1①，
则a2=S1+22=2+22=6，S2=8；a3=S2+23=8+23=16，S2=24，a4=S3+24=40；
（Ⅱ）由题设和①式知an+1-2an=（Sn+2n+1）-（Sn+2n）=2n+1-2n=2n
所以{an+1-2an}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）an=（an-2an-1）+2（an-1-2an-2）+…+2n-2（a2-2a1）+2n-1a1=（n+1）•2n-1