定义在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),则(1)求f(0);         (2)证明:f(x)为奇函数;(3)若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.

问题描述:

定义在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),则
(1)求f(0);         
(2)证明:f(x)为奇函数;
(3)若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.

(1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0可得,f(0)=f(0)+f(0),则f(0)=0,(2)令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x),即可证得f(x)为奇函数;(3)因为f(x)在R上是...
答案解析:(1)根据题意,令x=y=0可得,f(0)=f(0)+f(0),变形可得f(0),
(2)令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),由(1)可得f(0)=0,即可得0=f(x)+f(-x),可得证明;
(3)根据题意,由f(x)的奇偶性与单调性,可将f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0变形为f(k•3x)<f(-3x+9+2x),进而可得k<3x+

2
3x
−1,由基本不等式的性质,可得3x+
2
3x
−1
有最小值,令k小于其最小值即可得k的取值范围.
考试点:函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合.
知识点:本题考查函数的恒成立问题与抽象函数的应用,关键是用赋值法求出f(0),进而来判断函数的奇偶性.