定义在R上的函数f(x)＝13ax3+bx2+cx+2同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=[13x3-f（x）]•ex，求函数g（x）在[m，m+1]上的最小值．
问题描述：
定义在R上的函数f(x)＝
ax3+bx2+cx+2同时满足以下条件：1 3
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=[
x3-f（x）]•ex，求函数g（x）在[m，m+1]上的最小值． 1 3
答
（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ax2+2bx+c…（1分）由题意知f′(1)=0f′(0)=-12b=0，即a+2b+c=0c=-1b=0解得a=1b=0c=-1．…（4分）所以函数y=f（x）的解析式为f(x)=13x3-x+2．…（5分）（Ⅱ）g(x)=(13x3-f(x)) &n...
答案解析：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ax2+2bx+c，根据R上的函数f(x)＝
ax3+bx2+cx+2同时满足的条件，列出方程组，从而可求函数y=f（x）的解析式；1 3
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，再结合区间，进行分类讨论，即可求得g（x）在[m，m+1]上的最小值．
考试点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．
知识点：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定函数的单调性．