已知函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c的两个极值分别为f(x1),f(x2),若x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2)内,则b-2a的取值范围是( )A. (-4,-2)B. (-∞,2)∪(7,+∞)C. (2,7)D. (-5,2)
问题描述:
已知函数f(x)=
+x3 3
ax2+2bx+c的两个极值分别为f(x1),f(x2),若x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2)内,则b-2a的取值范围是( )1 2
A. (-4,-2)
B. (-∞,2)∪(7,+∞)
C. (2,7)
D. (-5,2)
答
∵函数f(x)=
+x3 3
ax2+2bx+c1 2
∴f′(x)=x2+ax+2b=0的两个根为x1,x2,
∵x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2)内
∴
⇒
f′(0)>0 f′(2)>0 f′(1)<0
b>0 a+b+2>0 a+2b+1<0
画出区域图得
∴b-2a∈(2,7),
故选C.
答案解析:先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件,然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可.
考试点:利用导数研究函数的极值.
知识点:本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及利用线性规划的知识解题,属于基础题.