您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  已知函数f（x）=−13x+16，x∈[0，12]2x3x+1，x∈(12，1]，函数g（x）=asin（π6x）-2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）A. [-23，1]B. [12，43]C. [43，32]D. [13，2]

已知函数f（x）=−13x+16，x∈[0，12]2x3x+1，x∈(12，1]，函数g（x）=asin（π6x）-2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）A. [-23，1]B. [12，43]C. [43，32]D. [13，2]

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:01:57
问题描述：

已知函数f（x）=
−
1
3
x+
1
6
，x∈[0，
1
2
]
2x3
x+1
，x∈(
1
2
，1]
，函数g（x）=asin（
π
6
x）-2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. [-
2
3
，1]
B. [
1
2
，
4
3
]
C. [
4
3
，
3
2
]
D. [
1
3
，2]

答

当x∈[0，

1
2
]时，y=
1
6
-
1
3
x，值域是[0，
1
6
]；
x∈（
1
2
，1]时，y=
2x3
x+1
，y′=
4x3+6x2
(x+1)2
＞0恒成立，故为增函数，值域为（
1
6
，1]．
则x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，
当x∈[0，1]时，g（x）=asin（
π
6
x）-2a+2（a＞0），
为增函数，值域是[2-2a，2-
3a
2
]，
∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，
∴[0，1]∩[2-2a，2-
3a
2
]≠∅，
若[0，1]∩[2-2a，2-
3a
2
]=∅，
则2-2a＞1或2-
3a
2
＜0，即a＜
1
2
，或a＞
4
3
．
∴a的取值范围是[
1
2
，
4
3
]．
故选：B．
答案解析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出[0，1]∩[2-2a，2-
3a
2
]≠∅，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．
考试点：分段函数的应用．
知识点：本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．

相关推荐