已知关于x的函数y=ax2+x+1(a为常数) (1)若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值; (2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围.

问题描述:

已知关于x的函数y=ax2+x+1(a为常数)
(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值;
(2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围.


(1)当a=0时,函数为y=x+1,它的图象显然与x轴只有一个交点(-1,0).
当a≠0时,依题意得方程ax2+x+1=0有两等实数根.
∴△=b2-4ac=1-4a=0,
∴a=

1
4

∴当a=0或a=
1
4
时函数图象与x轴恰有一个交点;
(2)依题意有
4a−1
4a
>0

当4a>0,4a-1>0,解得a>
1
4

当4a<0,4a-1<0,解得a<0.
∴a>
1
4
或a<0.
当a>
1
4
或a<0时,抛物线顶点始终在x轴上方.