您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  已知不等式1n+1+1n+2+…+12n＞a对一切大于1的自然数n都成立，则a的取值范围是（　　） A.(−∞，13] B.(−∞，12] C.(−∞，712) D.（-∞，0]

已知不等式1n+1+1n+2+…+12n＞a对一切大于1的自然数n都成立，则a的取值范围是（　　） A.(−∞，13] B.(−∞，12] C.(−∞，712) D.（-∞，0]

分类: 作业答案 • 2023-01-06 10:22:17
问题描述：

已知不等式

1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＞a对一切大于1的自然数n都成立，则a的取值范围是（　　）
A. (−∞，
1
3
]
B. (−∞，
1
2
]
C. (−∞，
7
12
)
D. （-∞，0]

答

设设f(n)＝

1
n+1
+…+
1
2n
，则f(n+1)＝
1
n+2
+…+
1
2n
+
1
2n+1
+
1
2(n+1)
，
则f(n+1)−f(n)＝
1
2n+1
+
1
2(n+1)
−
1
n+1
＝
1
2n+1
−
1
2(n+1)
=
1
2n+1
−
1
2n+2
＞0，
所以数列f（n）是关于n（n∈N，n≥2）的递增数列，
所以f（n）≥f（2）=
1
2+1
+
1
2+2
＝
1
3
+
1
4
＝
7
12
，
所以要使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＞a对一切大于1的自然数n都成立，所以a＜
7
12
．
故选C．

相关推荐