已知f(x)=alnx+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立,则a的取值范围是( )A. (0,1]B. (1,+∞)C. (0,1)D. [1,+∞)
问题描述:
已知f(x)=alnx+
x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有1 2
>2恒成立,则a的取值范围是( )
f(x1)−f(x2)
x1−x2
A. (0,1]
B. (1,+∞)
C. (0,1)
D. [1,+∞)
答
知识点:本题主要考查了导数的几何意义,以及函数恒成立问题,同时考查了转化与划归的数学思想,属于基础题.
对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
>2恒成立
f(x1)−f(x2)
x1−x2
则当x>0时,f'(x)≥2恒成立
f'(x)=
+x≥2在(0,+∞)上恒成立a x
则a≥(2x-x2)max=1
故选D.
答案解析:先将条件“对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
>2恒成立”转换成当x>0时,f'(x)≥2恒成立,然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可.
f(x1)−f(x2)
x1−x2
考试点:导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性.
知识点:本题主要考查了导数的几何意义,以及函数恒成立问题,同时考查了转化与划归的数学思想,属于基础题.