已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域D内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+1成立.(1)函数f(x)=x2是否属于集合M?说明理由;(2)函数f(x)=1x是否属于集合M?说明理由;(3)若对于任意实数a,函数f(x)=bx+a均属于集合M,试求实数b的取值范围.

问题描述:

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域D内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+1成立.
(1)函数f(x)=x2是否属于集合M?说明理由;
(2)函数f(x)=

1
x
是否属于集合M?说明理由;
(3)若对于任意实数a,函数f(x)=
b
x+a
均属于集合M,试求实数b的取值范围.

(1)D=R,若f(x)=x2属于集合M,
则存在实数x0,使得(x0+1)2=x02+1,解得x0=0,因为此方程有实数解,
所以函数f(x)=x2属于集合M.(5分)
(2)D=(-∞,0)∪(0,+∞),
若f(x)=

1
x
∈M,则存在非零实数x0,使得
1
x0+1
1
x0
+1
,即x02+x0+1=0,
因为此方程无实数解,所以函数f(x)=
1
x
∉M.(5分)
(3)当b≠0时,D=(-∞,-a)∪(-a,+∞),
f(x)=
b
x+a
,存在实数x0,使得
b
x0+a+1
b
x 0+a
+1

即x02+(2a+1)x0+a2+a+b=0(x0≠-a,-a-1)对于任意实数a均有解,
所以△≥0恒成立,解得b≤
1
4
,有b∈(−∞,0)∪(0,
1
4
]
,(15分)
当b=0时,f(x)=0(x≠-a)显然不属于集合M.
所以,实数b的取值范围是(−∞,0)∪(0,
1
4
]
.(18分)
答案解析:(1)若f(x)=x2属于集合M,则方程(x+1)2=x2+1有根,解二次方程如果该方程有根,则数f(x)=x2属于集合M.
(2)若f(x)=
1
x
属于集合M,则方程
1
x+1
=
1
x
+1有根,解二次方程如果该方程有非零根,则数f(x)=
1
x
属于集合M.
(3)若b=0时,f(x)=0(x≠-a)显然不属于集合M.若当b≠0时,D=(-∞,-a)∪(-a,+∞),由对于任意实数a,函数f(x)=
b
x+a
均属于集合M,故
b
x0+a+1
b
x 0+a
+1
一定有解,根据△≥0,我们构造出一个关于b的不等式,解不等式即可得到实数b的取值范围.
考试点:元素与集合关系的判断.
知识点:本题考查的知识点是元素与集合的关系的判断,要想判断一个元素x是否属于集合M,仅需要判断x是否满足M的性质即可.