已知函数f(x)=x3+ax2-2x-3. (1)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,求实数a的值; (2)是否存在实数a,使得f(x)在(1/3,1/2)上是单调递增函数?若存在,试求

问题描述:

已知函数f(x)=x3+ax2-2x-3.
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,求实数a的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)在(

1
3
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2
)上是单调递增函数?若存在,试求出a的范围;若不存在,请说明理由.

(1)由已知有f′(x)=3x2+2ax-2,f'(1)=0,∴a=−

1
2

(2)令f'(x)=3x2+2ax-2=0,∵△=4a2+24>0,∴方程有两个不等实根,分别记为x1,x2,又x1x2=−
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<0

所以在(
1
3
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2
)
内方程f'(x)=3x2+2ax-2=0不可能有两个解
故要使得f(x)在(
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)
上是单调递增函数的充要条件是
f′(
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3
)>0
f′(
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2
)>0
,解得a>
5
2

所以存在实数a>
5
2
,使得f(x)在(
1
3
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)
上是单调递增函数