已知函数f(x)=x3+ax2-2x-3. (1)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,求实数a的值; (2)是否存在实数a,使得f(x)在(1/3,1/2)上是单调递增函数?若存在,试求
问题描述:
已知函数f(x)=x3+ax2-2x-3.
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,求实数a的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)在(
,1 3
)上是单调递增函数?若存在,试求出a的范围;若不存在,请说明理由. 1 2
答
(1)由已知有f′(x)=3x2+2ax-2,f'(1)=0,∴a=−
1 2
(2)令f'(x)=3x2+2ax-2=0,∵△=4a2+24>0,∴方程有两个不等实根,分别记为x1,x2,又x1x2=−
<02 3
所以在(
,1 3
)内方程f'(x)=3x2+2ax-2=0不可能有两个解1 2
故要使得f(x)在(
,1 3
)上是单调递增函数的充要条件是1 2
,解得a>
f′(
)>01 3 f′(
)>01 2
5 2
所以存在实数a>
,使得f(x)在(5 2
,1 3
)上是单调递增函数1 2