您的位置: 首页  >  作业答案  >  其他  >  若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长，则1a+4b的最小值为______．

若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长，则1a+4b的最小值为______．

分类: 作业答案 • 2022-09-27 21:47:36
问题描述：

若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长，则

1
a
+
4
b
的最小值为______．

答

整理圆的方程得（x+4）2+（y+1）2=16，
∴圆心坐标为（-4，-1）
∵直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长
∴直线l过圆心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴

1
a
+
4
b
=（4a+b）（
1
a
+
4
b
）=8+
16a
b
+
b
a
≥8+2
16a
b
•
b
a
=16（当且仅当
16a
b
=
b
a
时等号成立．）
故答案为：16
答案解析：先根据题意可推断出直线l过圆的直径，利用圆的方程求得圆心坐标代入直线方程求得a和b的关系，然后把
1
a
+
4
b
整理成（4a+b）（
1
a
+
4
b
）的形式展开后利用基本不等式求得答案．
考试点：基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆相交的性质．
知识点：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，直线与圆的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

相关推荐